Lecture18 Properties of Determinants

 

MIT Gilbert Strang교수님의 Linear Algebra 18강 Properties of Determinants 리뷰입니다.

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Determinants

The determinant is a number associated with any square matrix; det A or |A|

determinant는 any square matrix와 연관되어 있는 숫자로써, det A 혹은 |A|로 표기한다.

The matrix is invertible exactly when the determinant is non-zero.

행렬은 행렬식이 0이 아닐 때 invertible하다.

 

 

Properties

모든 크기의 정방행렬의 행렬식에 대한 공식을 줄 것이다.

특징으로는 아래와 같다.

 

1. det I = 1

 

2. 행렬의 두 행을 교환하면 행렬식의 부호가 양수에서 음수로, 음수에서 양수로 반대가 된다.

 

3a, 3b. 행렬식이 행렬의 행에서 선형 함수처럼 행동한다. 단, each row에 대해서 선형 결합이 가능하다(모든 row는 아니다.)

치환 행렬 P의 행렬식은 P가 짝수 개의 행을 교환하는지 홀수 개의 행을 교환하는지에 따라 1 또는 -1이다.

4. 행렬의 두 행이 같으면 det = 0 (즉, 행렬식은 0)

property 2인 exchange rule(교환 규칙) 때문이다. 두 행을 교환하면 행렬식이 바뀌지 않고, 행렬식의 부호가 달라진다. 따라서, 행

렬식은 0이어야 한다.

 

5. i와 j가 같지 않다면, j행에서 t회 행i를 뺀다고해서 determinant는 변하지 않는다.

 

6. A가 모두 0인 행을 가지면, A=0을 검출한다. (t=0으로 함으로써 3a에 의해 증명 가능하다. )

7. triangular행렬의 행렬식은 diagonal의 곱이다.단, di의 요소 중 하나가 0이면 소겁버을 사용하여 대각행렬을 얻을 수 없다.

 

8. A가 sinular일 때 det A = 0. 행렬식이 0이면, 역행렬은 존재하지 않는다.

9. detAB = (detA)(detB)

합의 행렬식이 행렬식의 합과 같지는 않지만, 곱의 행렬식은 행렬식의 곱과 같다.

 

10. detAT =detA

행렬의 한 column(열)이 0이면 행렬의 행렬식은 0이다.

 

To see why |AT| = |A|, use elimination to write A = LU. The statement becomes |UT LT | = |LU|.

Therefore |UT||LT| = |L||U| and |AT| = |A|.

|AT| = |A|를 알아보려면 소거법을 활용하여 A=LU라 적는다. 문장은 |UT LT | = |LU|가 된다.

그러므로 |UT||LT| = |L||U| and |AT| = |A| 이다.

 

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