Lecture11 Matrix Spaces; Rank 1; Small World Graphs

 

 

안녕하세요

오늘은Lecture11 Matrix Spaces; Rank 1; Small World Graphs 에 대해 학습하겠습니다.

 

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Matrix spaces (New vector spaces)

New vector spaces = Matrix spaces, M = all 3 by 3 matrices

새로운 벡터공간은 행렬 공간이며, M은 모든 3 * 3 행렬이다.

또한, 행렬 M은 3가지 부분 공간인 Symmetric Matrix, Upper triangular Matrix, Diagonal Matrix를 가지고 있다.

Dimension & Basis

The dimension of M is 9; we must choose 9 numbers to specify an element of M. The space M is very similar to R9. A good choice of basis is:

차원(Dimension)은 행렬을 구성하고 있는 원소의 개수이므로 3*3행렬인 M의 차원은 9이다.

또한, 기저(Basis)도 9개이다.

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Symmetric matrices (대칭행렬) : 주대각 원소들을 중심으로 대칭되는 지점의 원소들이 서로 같은 행렬

The subspace of symmetric matrices S has dimension 6.

대칭행렬 S의 부분공간은 차원 6을 갖는다. 차원이 6이기에 기저(Basis)도 6이다.

Upper triangular matrix (상삼각행렬) : 주대각 원소들을 중심으로 위로만 원소들이 존재하는 행렬

The dimension of U is again 6

Upper triangular matrix의 차원(dimension) 또한 6이며, 기저(Basis)도 6이다.

 

Diagonal matrix (대각행렬) : 대각 행에만 원소가 존재하고 나머지는 모두 0인 정방행렬

The subspace D = S ∩ U of diagonal 3 by 3 matrices has dimension 3.

대각행렬 D는 S(대칭행렬)과 U(상삼각행렬)의 교집합으로 차원(dimensnion)은 3이다. (그러므로 기저도 3)

 

S + U = M (but, 대칭행렬과 상삼각행렬의 합집합은? NO)

Is S ∪ U, the set of 3 by 3 matrices which are either symmetric or upper triangular, a subspace of M? No. This is a subspace of M. In fact, S + U = M.

대칭행렬과 상삼각행렬의 집합 S ∪ U는 M의 부분공간이 아니다. 다만, 두개를 합한다면 부분공간이 된다.

M의 차원(Dimension)은 9이며, 기저(Basis)도 9이다.

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Differential equations(미분방정식)

Another example of a vector space that’s not Rn appears in differential equa­ tions.

R^n 즉, Vector를 가지지 않는 또 다른 예는 미분방정식이다.

위의 해들은 미분방정식의 null space로, comple solution(완전해)를 정의하면 아래와 같다.

This solution space is a two dimensional vector space with basis vectors cos x and sin x. (Even though these don’t “look like” vectors, we can build a vector space from them because they can be added and multiplied by a constant.)

이 solution space(해 공간)은 vector cos x와 sin x를 갖는 2차원 벡터공간이다. (선형 결합으로 표현할 수 있기 때문)

 

*방정식의 해 공간에 대한 기저를 찾는 것 = 선형미분방정식을 푸는 것 ( Basis들을 vector라 부르는 것은 선형 결합이 가능하기 때문이다.)

Rank one matricies

아래의 A의 1행과 2행은 종속이며, 열도 동일하게 종속이다.

Every rank 1 matrix A can be written A = UVT, where U and V are column vectors. We’ll use rank 1 matrices as building blocks for more complex matri­ces.

모든 rank1 matrix A는 A = UV^T로 표기할 수 있고, U와 V는 열 벡터이다. 쉽게 말하면, Column과 row vector를 순서대로 곱하면 rank1의 행렬이 만들어진다.

 

Rank 4 matrices

A has rank 1, the dimension of this nullspace is n − r = 3. The left nullspace contains only the zero vector, has dimension zero, and its basis is the empty set. The row space of A also has dimension 1.

A는 rank1을 가지며, nullspace의 차원은 n - r = 3이다. 왼쪽 nullspace는 zero vector만을 포함하고, 차원은 0을 가지며, 기저(basis)는 빈 집합입니다. A의 행 공간(row space)도 차원 1을 가진다.

 

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Small world graphs

노드사이의 거리에 대한 행렬을 그래프로 표현하였다.

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정리

1. Matrix spaces (New vector spaces)는 Symmetric Matrix, Upper triangular Matrix, Diagonal Matrix를 가지고 있다.

1) Symmetric matrices (대칭행렬) : 주대각 원소들을 중심으로 대칭되는 지점의 원소들이 서로 같은 행렬

2) Upper triangular matrix (상삼각행렬) : 주대각 원소들을 중심으로 위로만 원소들이 존재하는 행렬

3) Diagonal matrix (대각행렬) : 대각 행에만 원소가 존재하고 나머지는 모두 0인 정방행렬

기타) S + U = M (but, 대칭행렬과 상삼각행렬의 합집합은? NO)