Lecture6 Column Space and Nullspace

 

안녕하세요,

오늘은 MIT Gilbert Strang교수님의 Linear algebra 6강 Column Space and Nullspace에 대해 리뷰해보도록 하겠습니다.

 

 

---

 

Vector Space

A vector space is a collection of vectors which is closed under linear combinations. In other words, for any two vectors v and w in the space and any two real numbers c and d, the vector cv + dw is also in the vector space. A subspace is a vector space contained inside a vector space.

Vector space(벡터공간)은 선형 결합의 벡터 집합이다. 다시 말해, 공간에서의 두 벡터 v와 w, 그리고 2가지 real 수인 c와 d에서 cv+dw는 vector space다.

Plane through [0, 0, 0] is subspace of R^3 ( plane은 R^3의 subspace이다.)

3차원에서 두 벡터의 선형결합은 하나의 공간 위에서 존재한다.

중요한 조건은 "모든 부분 공간은 반드시 원점 [0 0 0]"을 지나야 한다,

P U L = all vectors in P or L or both일 때, 이것은 subspace인가 아닌가? 아니다.

왜? P 와 L을 선형결합하면 평면P와 L에 포함된 벡터로 표현되지 않는 또다른 벡터가 생성되므로

(즉, 부분집합이 되려면 집합 내의 원소들끼리 임의의 상수를 곱하거나 원소끼리 더해도 같은 공간안에 존재해야 하지만 평면 혹은 라인도 아닌 다른 어딘가로 향하게 되기 때문이다.)

 

P ∩ L : all vectors in both P and L, 교집합은 subspace이다.

왜? P와 L 모두 subspace이며 교집합은 P와 L의 부분집합이기 때문이다.

(즉, P와 L의 교점은 원점이므로 부분집합이 된다.)

부분공간 S와 T의 교차점 S∩T는 부분공간이다.

---

Column Space

Column space of A is subspace of R^4

A행렬의 열공간은 R^4의 부분집합니다. (all linear combs of columns, 4개의 행이 있기 때문이다.)

Does Ax=b have a solution for every b?

4개의 연립방정식에 3개의 미지수가 존재하는 형태이므로 4차원을 모두 채울 수 없다.

하지만, 위처럼 B를 가지면 x행렬을 통해 4차원의 공간을 채울 수 있다.

즉, 열공간에 x1, x2, x3를 곱한 선형결합의 형태로 b1, b2, b3, b4를 표현한다면 B행렬은 A행렬의 열공간 선형결합으로 표현된다.

 

Big question: what b’s allow Ax = b to be solved?

중요한 질문: Ax = b를 해결할 수 있는 b는 무엇인가?

 

A useful approach is to choose x and find the vector b = Ax correspond­ ing to that solution. The components of x are just the coefficients in a linear combination of columns of A.

The system of linear equations Ax = b is solvable exactly when b is a vector in the column space of A.

유용한 접근법은 x를 선택하고 그 해에 대응하는 벡터 b = Ax를 찾는 것이다.

x의 성분들은 단지 A의 열들의 선형결합에서의 계수들이다. 선형방정식 Ax = b의 계는 b가 A의 열 공간에 있는 벡터일 때 정확히 풀 수 있다.

 

For our example matrix A, what can we say about the column space of A? Are the columns of A independent? In other words, does each column contribute something new to the subspace?

The third column of A is the sum of the first two columns, so does not add anything to the subspace. The column space of our matrix A is a two dimensional subspace of R4.

예제 행렬 A의 경우, A의 열 공간에 대해 무엇을 말할 수 있는가? A의 열은 독립적인가? 다시 말해, 각 열은 부분 공간에 새로운 것을 제공공하나?

A의 세 번째 열은 처음 두 열의 합이므로 부분공간에 어떤 것도 추가하지 않는다. 행렬 A의 열 공간은 R^4의 2차원 부분공간이다.

(열공간이 생성하는 subspace가 같은 경우를 종속이라고 하며, 이 반대의 경우를 독립이라고 한다.)

---

Null Space(영공간)

Null Space는 Column Space와는 완전히 다른 부분 공간이다.

 

Null space(영공간)

A에 어떤 행렬X를 곱했을 때, 0이 되는 X를 Null space라고 한다.

3차원상의 직선에 해당

어떠한 Null space이든지 0 vector를 해로 가진다. 0 vector를 가지므로 null space를 vector space로 정의할 수도 있다.

Check) that solutions to Ax = 0

If Av = 0 and Aw = 0 then A(v+w) = 0

>>> subspace 가능

 

check) always give a subspace ?

>>> 영벡터를 포함하지 않으면 자기 자신의 선형결합을 표현할 수 없다. 하지만, 임의의의 해에 대해 x가 0벡터인 경우를 만족하지 않는 경우가 있으므로 subspace 불가능