Lecture10 The Four Fundamental Subspaces

 

 

안녕하세요,

오늘은 MIT Gilbert Strang 교수님의 Linear algebra 10강 four fundamental subspaces에 대해 학습하겠습니다.

 

 

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Four subspaces

Any m by n matrix A determines four subspaces (possibly containing only the zero vector):

Column space, C(A)

C(A) consists of all combinations of the columns of A and is a vector space in Rm.

C(A)는 A의 열의 모든 조합으로 구성되며 Rm의 벡터 공간이다.

 

Nullspace, N(A)

This consists of all solutions x of the equation Ax = 0 and lies in Rn.

방정식 Ax = 0의 모든 해 x로 구성되며 Rn에 위치한다.

 

Row space, C(AT)

The combinations of the row vectors of A form a subspace of Rn. We equate this with C(AT), the column space of the transpose of A.

전치 후 column space를 정의하면 원래 row space가 정의되는 것과 같다.

 

Left nullspace, N(AT)

We call the nullspace of AT the left null space of A. This is a subspace of Rm.

행렬 A의 전치에 대한 Null space를 의미한다.

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• Basis and Dimension

Column space, C(A) dimension : r (pivot column의 개수)

dim C(A) = r.

 

Nullspace, N(A) dimension : n-r (special solution에서 free variable 개수)

dim N(A) = n − r.

 

Row space, C(AT) dimension : r

dim C(AT) = r.

 

Left nullspace, N(AT) dimension : m-r

dim N(AT) = m − r.

 

 

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• New vector space

The collection of all 3 × 3 matrices forms a vector space; call it M.

모든 3×3 행렬의 집합은 벡터 공간을 형성하며, 이를 M이라고 한다.

행렬을 더하고 스칼라를 곱하면 영 행렬(additive identity)이 나온다.

만약 행렬을 서로 곱할 수 있다는 사실을 무시한다면, 벡터처럼 행동합니다. (behave like vectors)

 

M의 일부 부분 공간은 다음과 같다.

• 모든 상위 삼각 행렬 (all upper triangular matrices)

• 모든 대칭 행렬 (all symmetric matrices)

• D, 모든 대각행렬 (D, all diagonal matrices)

 

 

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